Καμπυλότητα χώρου
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι ο χώρος είναι καμπύλος;
Ας πάρουμε ένα φύλλο από τετράδιο. Είναι προφανές σε όλους μας ότι το χαρτί είναι επίπεδο. Ας το τυλίξουμε τώρα σε κύλινδρο. Μήπως τώρα είναι καμπύλο; Η απάντηση είναι: Όχι !
Ας πάρουμε ένα φύλλο από τετράδιο. Είναι προφανές σε όλους μας ότι το χαρτί είναι επίπεδο. Ας το τυλίξουμε τώρα σε κύλινδρο. Μήπως τώρα είναι καμπύλο; Η απάντηση είναι: Όχι !
Ο Gauss όρισε πότε ένας χώρος είναι καμπύλος. Είναι ο χώρος στον οποίο δεν ισχύουν τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ως γνωστόν αυτά είναι πέντε τον αριθμό, με το 5ο να ταλαιπωρεί κόσμο για πάρα πολλά χρόνια ! Αυτό το 5ο αξίωμα ή για την ακρίβεια η απάλειψή του είναι που μας οδήγησε στις μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.
Αυτό αναφέρει: “Αν μια ευθεία γραμμή η οποία τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει εντός επί τα αυτά γωνίες μ' αυτές προς την ίδια πλευρά της, με άθροισμα λιγότερο από 2 ορθές, τότε αν οι 2 ευθείες επεκταθούν επ' άπειρον, τέμνονται προς εκείνη την πλευρά προς την οποία το άθροισμα των παραπάνω γωνιών ήταν λιγότερο από 2 ορθές.” |
Γεωδαισιακή γραμμή, σύμφωνα με τον Gauss, είναι μία γραμμή πάνω σε μία επιφάνεια που ενώνει δύο σημεία με το ελάχιστο δυνατόν μήκος. ( Το ευθύγραμμο τμήμα σε ένα επίπεδο ή το τόξο οποιουδήποτε μέγιστου κύκλου - το επίπεδο του οποίου διέρχεται από το κέντρο σφαίρας - στην επιφάνεια μίας σφαίρας ).
Στον κύλινδρο τώρα, οποιαδήποτε γραμμή δεν παραβιάζει τα αξιώματα της Ευκλείδειας ( αυτό μπορεί εύκολα να το ελέγξει κάποιος αν ξανακάνει τον κύλινδρο, επίπεδο ) άρα ο κύλινδρος έχει μηδενική καμπυλότητα.
Στον κύλινδρο τώρα, οποιαδήποτε γραμμή δεν παραβιάζει τα αξιώματα της Ευκλείδειας ( αυτό μπορεί εύκολα να το ελέγξει κάποιος αν ξανακάνει τον κύλινδρο, επίπεδο ) άρα ο κύλινδρος έχει μηδενική καμπυλότητα.
Ο Gauss όρισε ότι μία γραμμή έχει θετική καμπυλότητα όταν είναι κοίλη, μηδέν όταν είναι επίπεδη και αρνητική όταν είναι κυρτή.
Ας υποθέσουμε ότι είστε ένα ζουζούνι που ζει πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου.
Υπάρχουν πολλά και διάφορα μονοπάτια που μπορεί να ακολουθήσετε για να φτάσετε από ένα σημείο σε ένα άλλο. Η υπέροχη ιδέα του Gauss ( η οποία διατυπώθηκε στο theorema egregium = αξιοσημείωτο θεώρημα ) ήταν ότι έλαβε υπ’ όψη του όλες τις δυνατές επιλογές. Από οποιοδήποτε σημείο βρείτε τα δύο ακραία μονοπάτια ( το πλέον κοίλο και το πλέον κυρτό ) που μπορείτε να ακολουθήσετε και πολλαπλασιάστε τις καμπυλότητές τους. Το γινόμενο είναι η κατά Gauss καμπυλότητα της επιφάνειας.
Ως ζουζούνι όμως έχετε δύο ακραίες επιλογές: είτε θα κινηθείτε σε κύκλο ή στην ευθεία ( μηδενική καμπυλότητα ). Το γινόμενο είναι επομένως ίσο με 0, άρα ο κύλινδρος δεν είναι καμπύλος ( μηδενική καμπυλότητα ). ( Στο μεσαίο σχήμα η σκούρα πράσινη γραμμή ως ευθεία έχει καμπυλότητα μηδέν ).
Πράγμα το οποίο δεν γίνεται, φερ’ ειπείν αν βρίσκεστε σε μία σφαίρα ! Άρα η σφαίρα είναι καμπύλη ! Γι’ αυτό και ένας κύλινδρος μπορεί να γίνει επίπεδος ( αντίστροφη διαδικασία κατασκευής του ) αλλά μία σφαίρα ποτέ !
Έχετε ποτέ δοκιμάσει να τυλίξετε για δώρο μία μπάλα; Είναι εξωφρενικά δύσκολο και φυσικά αδύνατο να γίνει ομοιόμορφο ! Γιατί; Μα διότι το επίπεδο χαρτί δεν γίνεται σφαίρα. (1η φωτ. ακριβώς από κάτω)
Δοκιμάστε και το άλλο: στίψτε μισό πορτοκάλι. Τώρα πατήστε με την παλάμη σας τη φλούδα ! Θα γίνει μεν επίπεδη αλλά θα σκιστεί ! Διότι η σφαίρα και το επίπεδο έχουν διαφορετική καμπυλότητα. (2η φωτ.)
Επίσης οι χάρτες που βλέπουμε να αναπαριστούν ολόκληρη τη γη είναι παραμορφωμένοι για τον ίδιο ακριβώς λόγο. (3η φωτ.)
Το ίδιο πρόβλημα έχουν φυσικά και οι σχεδιαστές μόδας! Αφού καλούνται να δώσουν καμπυλότητα σε ένα ύφασμα το οποίο ως επίπεδο έχει καμπυλότητα ίση με 0 !! (4η φωτ.)
Μπορούμε να αλλάξουμε την καμπυλότητα ενός χαρτιού; Η απάντηση είναι: ναι! ( Φυσικά εδώ χρησιμοποιούμε και φυσική ). Απλώς βρέξτε το και περιμένετε να στεγνώσει. Τότε αλλάζουν οι αποστάσεις των ινών του και το χαρτί παύει να έχει καμπυλότητα 0 ( εκεί που είναι βρεγμένο ) ! (5η φωτ.)
Υπάρχουν πολλά και διάφορα μονοπάτια που μπορεί να ακολουθήσετε για να φτάσετε από ένα σημείο σε ένα άλλο. Η υπέροχη ιδέα του Gauss ( η οποία διατυπώθηκε στο theorema egregium = αξιοσημείωτο θεώρημα ) ήταν ότι έλαβε υπ’ όψη του όλες τις δυνατές επιλογές. Από οποιοδήποτε σημείο βρείτε τα δύο ακραία μονοπάτια ( το πλέον κοίλο και το πλέον κυρτό ) που μπορείτε να ακολουθήσετε και πολλαπλασιάστε τις καμπυλότητές τους. Το γινόμενο είναι η κατά Gauss καμπυλότητα της επιφάνειας.
Ως ζουζούνι όμως έχετε δύο ακραίες επιλογές: είτε θα κινηθείτε σε κύκλο ή στην ευθεία ( μηδενική καμπυλότητα ). Το γινόμενο είναι επομένως ίσο με 0, άρα ο κύλινδρος δεν είναι καμπύλος ( μηδενική καμπυλότητα ). ( Στο μεσαίο σχήμα η σκούρα πράσινη γραμμή ως ευθεία έχει καμπυλότητα μηδέν ).
Πράγμα το οποίο δεν γίνεται, φερ’ ειπείν αν βρίσκεστε σε μία σφαίρα ! Άρα η σφαίρα είναι καμπύλη ! Γι’ αυτό και ένας κύλινδρος μπορεί να γίνει επίπεδος ( αντίστροφη διαδικασία κατασκευής του ) αλλά μία σφαίρα ποτέ !
Έχετε ποτέ δοκιμάσει να τυλίξετε για δώρο μία μπάλα; Είναι εξωφρενικά δύσκολο και φυσικά αδύνατο να γίνει ομοιόμορφο ! Γιατί; Μα διότι το επίπεδο χαρτί δεν γίνεται σφαίρα. (1η φωτ. ακριβώς από κάτω)
Δοκιμάστε και το άλλο: στίψτε μισό πορτοκάλι. Τώρα πατήστε με την παλάμη σας τη φλούδα ! Θα γίνει μεν επίπεδη αλλά θα σκιστεί ! Διότι η σφαίρα και το επίπεδο έχουν διαφορετική καμπυλότητα. (2η φωτ.)
Επίσης οι χάρτες που βλέπουμε να αναπαριστούν ολόκληρη τη γη είναι παραμορφωμένοι για τον ίδιο ακριβώς λόγο. (3η φωτ.)
Το ίδιο πρόβλημα έχουν φυσικά και οι σχεδιαστές μόδας! Αφού καλούνται να δώσουν καμπυλότητα σε ένα ύφασμα το οποίο ως επίπεδο έχει καμπυλότητα ίση με 0 !! (4η φωτ.)
Μπορούμε να αλλάξουμε την καμπυλότητα ενός χαρτιού; Η απάντηση είναι: ναι! ( Φυσικά εδώ χρησιμοποιούμε και φυσική ). Απλώς βρέξτε το και περιμένετε να στεγνώσει. Τότε αλλάζουν οι αποστάσεις των ινών του και το χαρτί παύει να έχει καμπυλότητα 0 ( εκεί που είναι βρεγμένο ) ! (5η φωτ.)
Ας κλείσουμε όπως ξεκινήσαμε:
Το κομμάτι της pizza είναι επίπεδο. Άρα έχει καμπυλότητα ίση με 0.
Το Αξιοσημείωτο θεώρημα βεβαιώνει ότι όπως και αν το διπλώσουμε η καμπυλότητα δεν αλλάζει, άρα μία διεύθυνση του παραμένει επίπεδη. Αν κρατήσουμε το κομμάτι από την άκρη του τότε η διεύθυνση που παραμένει επίπεδη είναι η “άβολη”. Αν το διπλώσουμε όμως παραμένει η επιθυμητή !
Καλή όρεξη !
Το κομμάτι της pizza είναι επίπεδο. Άρα έχει καμπυλότητα ίση με 0.
Το Αξιοσημείωτο θεώρημα βεβαιώνει ότι όπως και αν το διπλώσουμε η καμπυλότητα δεν αλλάζει, άρα μία διεύθυνση του παραμένει επίπεδη. Αν κρατήσουμε το κομμάτι από την άκρη του τότε η διεύθυνση που παραμένει επίπεδη είναι η “άβολη”. Αν το διπλώσουμε όμως παραμένει η επιθυμητή !
Καλή όρεξη !
Τα αποτελέσματα του ίδιου θεωρήματος μπορούμε να τα παρατηρήσουμε στη φύση αλλά και ο άνθρωπος έχει εκμεταλλευτεί τις εφαρμογές αυτές !
Δείτε και το video κάτω από τις φωτογραφίες.
- Φύλλα χόρτων τα οποία είναι μακριά και λεπτά, αλλά επειδή “διπλώνουν” κρατιούνται χωρίς να λυγίζουν,
- Ο άνθρωπος που μπορεί να σταθεί σε ένα άδειο κουτί από αναψυκτικό ( τα τοιχώματα του κουτιού είναι απίστευτα λεπτά),
- Χαρτοκιβώτια από λεπτό χαρτόνι το οποίο όμως είναι παραγεμισμένο με καμπυλωμένο χαρτί.
- Επίσης δοκιμάστε να βάλετε στην παλάμη σας ( χωρίς να φοράτε δαχτυλίδι ) ένα αυγό και να το λιώσετε. Θα δείτε ότι είναι πολύ δύσκολο αφού έχει μη μηδενική καμπυλότητα.
- Οι πύργοι ψύξεως έχουν σχήμα υπερβολοειδούς. Έτσι ελαχιστοποιείται η ποσότητα υλικών για την κατασκευή τους αλλά γίνονται και πιο ισχυροί από τις συνηθισμένες καμινάδες !
- Τέλος τα πατατάκια ! Υπάρχουν τα ( σχεδόν ) επίπεδα πατατάκια τα οποία λιώνουν στο στόμα με λίγη πίεση της γλώσσας αλλά υπάρχουν και τα άλλα όπως τα Pringles τα οποία είναι υπερβολικά παραβολοειδή !
Δείτε και το video κάτω από τις φωτογραφίες.